Регистр сдвига с обратной связью состоит из двух частей: регистра сдвига и функции обратной связи .
Рис 19. Регистр сдвига с обратной связью.
В общем случае регистр сдвига представляет собой последовательность некоторых элементов кольца или поля. Наиболее часто применяются битовые регистры сдвига. Длина такого регистра выражается числом битов. При каждом извлечении бита все биты регистра сдвигаются вправо на одну позицию. Новый старший бит рассчитывается как функция всех остальных битов регистра. Выходом обычно является младший значащий бит. Периодом регистра сдвига называют длину выходной последовательности до начала ее повторения.
Простейший тип регистров сдвига – регистр сдвига с линейной обратной связью (РСЛОС или ЛРС). Обратная связь – простая операция XOR над некоторыми битами регистра. Перечень этих битов определяется характеристическим многочленом и называется последовательностью отводов . Иногда такую схему называют конфигурацией Фибоначчи .
Рис.20. РСЛОС конфигурации Фибоначчи.
При программной реализации РСЛОС пользуются модифицированной схемой: для генерации нового значащего бита вместо использования битов последовательности отводов над каждым ее битом выполняется операция XOR с выходом генератора, заменяя старый бит последовательности отводов. Такую модификацию иногда называют конфигурацией Галуа .
Рис.21. РСЛОС конфигурации Галуа.
n -битовый РСЛОС может находиться в одном из 2 n – 1 внутренних состояний. Это значит, что теоретически такой регистр может генерировать псевдослучайную последовательность с периодом 2 n – 1 битов (заполнение нулями совершенно бесполезно). Прохождение всех 2 n – 1 внутренних состояний возможно только при определенных последовательностях отводов. Такие регистры называют РСЛОС с максимальным периодом. Для обеспечения максимального периода РСЛОС необходимо, чтобы его характеристический многочлен был примитивным по модулю 2. Степень многочлена является длиной регистра сдвига. Примитивный многочлен степени n – это такой неприводимый многочлен, который является делителем , но не является делителем x d + 1 для всех d , являющихся делителями 2 n – 1. (При обсуждении многочленов термин простое число заменяется термином неприводимый многочлен ). Характеристический многочлен приведенных на рисунках РСЛОС:
x 32 + x 7 + x 5 + x 3 + x 2 + x + 1
примитивен по модулю 2. Период такого регистра будет максимальным, циклически проходя все 2 32 – 1 значений до их повторения. Наиболее часто используются прореженные многочлены, т.е. у которых есть только некоторые коэффициенты. наиболее популярны трехчлены.
Важным параметром генератора на базе РСЛОС, является линейная сложность . Она определяется как длина n самого короткого РСЛОС, который может имитировать выход генератора. Линейная сложность важна, поскольку при помощи простого алгоритма Берленкемпа-Мэсси можно воссоздать такой РСЛОС, проверив всего 2n битов гаммы. С определением нужного РСЛОС поточный шифр фактически взламывается.
Последовательности сдвиговых регистров используются как в криптографии, так и в теории кодирования. Их теория прекрасно проработана, потоковые шифры на базе сдвиговых регистров являлись рабочей лошадкой военной криптографии задолго до появления электроники.
Сдвиговый регистр с обратной связью состоит из двух частей: сдвигового регистра и функции обратной связи (рисунок 1.2.1). Сдвиговый регистр представляет собой последовательность битов. (Количество битов определяется длиной сдвигового регистра. Если длина равна n битам, то регистр называется n-битовым сдвиговым регистром.) Всякий раз, когда нужно извлечь бит, все биты сдвигового регистра сдвигаются вправо на 1 позицию. Новый крайний левый бит является функцией всех остальных битов регистра. На выходе сдвигового регистра оказывается один, обычно младший значащий, бит. Периодом сдвигового регистра называется длина получаемой последовательности до начала ее повторения.
Рис. 1.2.1.
Криптографам нравились потоковые шифры на базе сдвиговых регистров: они легко реализовывались с помощью цифровой аппаратуры. Я лишь слегка затрону математическую теорию. В 1965 году Эрнст Селмер (Ernst Selmer), главный криптограф норвежского правительства, разработал теорию последовательности сдвиговых регистров. Соломон Голомб (Solomon Golomb), математик NSA, написал книгу, излагающие некоторые свои результаты и результаты Селмера.
Простейшим видом сдвигового регистра с обратной связью является линейный сдвиговый регистр с обратной связью (linear feedback shift register, или LFSR) (рисунок 1.2.2). Обратная связь представляет собой просто XOR некоторых битов регистра, перечень этих битов называется отводной последовательностью (tap sequence). Иногда такой регистр называется конфигурацией Фиббоначи. Из-за простоты последовательности обратной связи для анализа LFSR можно использовать довольно развитую математическую теорию. Криптографы любят анализировать последовательности, убеждая себя, что эти последовательности достаточно случайны, чтобы быть безопасными. LFSR чаще других сдвиговых регистров используются в криптографии.
Рис. 1.2.2.
На Рис. 1.2.3 показан 4-битовый LFSR с отводом от первого и четвертого битов. Если его проинициализировать значением 1111, то до повторения регистр будет принимать следующие внутренние состояния:
Рис. 1.2.3. 4
Выходной последовательностью будет строка младших значащих битов:
1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0....
n-битовый LFSR может находиться в одном из 2n-1 внутренних состояний. Это означает, что теоретически такой регистр может генерировать псевдослучайную последовательность с периодом 2n-1 битов. (Число внутренних состояний и период равны 2n-1, потому что заполнение LFSR нулями, приведет к тому, что сдвиговый регистр будет выдавать бесконечную последовательность нулей, что абсолютно бесполезно.) Только при определенных отводных последовательностях LFSR циклически пройдет через все 2n-1 внутренних состояний, такие LFSR являются LFSR с максимальным периодом. Получившийся результат называется М-последовательностью.
Для того, чтобы конкретный LFSR имел максимальный период, многочлен, образованный из отводной последовательности и константы 1, должен быть примитивным по модулю 2. Степень многочлена является длиной сдвигового регистра. Примитивный многочлен степени n - это неприводимый многочлен, который является делителем, но не является делителем xd+1 для всех d, являющихся делителями 2n-1.
В общем случае не существует простого способа генерировать примитивные многочлены данной степени по модулю 2. Проще всего выбирать многочлен случайным образом и проверять, не является ли он примитивным. Это нелегко - и чем-то похоже на проверку, не является ли простым случайно выбранное число - но многие математические пакеты программ умеют решать такую задачу.
Некоторые, но, конечно же, не все, многочлены различных степеней, примитивные по модулю 2. Например, запись (32, 7, 5, 3, 2, 1, 0) означает, что следующий многочлен примитивен по модулю 2:
x32 + x7 +x5 + x3 + x2 + x + 1
Это можно легко обобщить для LFSR с максимальным периодом. Первым числом является длина LFSR. Последнее число всегда равно 0, и его можно опустить. Все числа, за исключением 0, задают отводную последовательность, отсчитываемую от левого края сдвигового регистра. То есть, члены многочлена с меньшей степенью соответствуют позициям ближе к правому краю регистра.
Продолжая пример, запись (32, 7, 5, 3, 2, 1, 0) означает, что для взятого 32-битового сдвигового регистра новый бит новый бит генерируется с помощью XOR тридцать второго, седьмого, пятого, третьего, второго и первого битов получающийся LFSR будет иметь максимальную длину, циклически проходя до повторения через 232-1 значений.
дешифрование - p i = D (k i , c i) , как показывает рис. 7.21 .
Рис.
7.21.
Шифры потока быстрее, чем блочные шифры . Аппаратная реализация шифра потока также более проста. Когда мы должны зашифровать двоичные потоки и передать их на постоянной скорости, лучший выбор - использовать шифр потока. Шифры потока обладают большей защитой против искажения битов в течение передачи.
В современном шифре потока каждое r -битовое слово в потоке исходного текста зашифровано, используя r -битовое слово в ключевом потоке, чтобы создать соответствующее r -битовое слово в потоке зашифрованного текста .
Рис. 7.22.
Одноразовый блокнот - идеальный шифр. Он совершенен. Нет метода, который дал бы противнику возможность распознать ключ или статистику зашифрованного текста и исходного текста. Нет никаких соотношений между исходным и зашифрованным текстами. Другими словами, зашифрованный текст – настоящий случайный поток битов, даже если получить некоторые образцы исходного текста. Ева не может нарушить шифр, если она не попробует все возможные случайные ключевые потоки, которые были бы 2 n , если размер исходного текста - n -битовый. Однако при этом есть проблема. Передатчик и приемник для того, чтобы совместно использовать одноразовый блокнот ключей, должны установить соединение каждый раз, когда они хотят обменяться информацией. Они должны, так или иначе, договориться о случайном ключе. Так что этот совершенный и идеальный шифр очень трудно реализовать.
Пример 7.17
Какой вид имеет зашифрованный текст при использовании шифра одноразового блокнота в каждом из следующих случаев?
а. Исходный текст состоит из n нулей.
б. Исходный текст состоит из n единиц.
в. Исходный текст состоит из чередующихся нулей и единиц.
г. Исходный текст - случайная строчка бит.
Решение
a. Поскольку 
, то поток зашифрованного текста совпадет с ключевым потоком. Если ключ случайный, зашифрованный текст также случайный. Отрывки исходного текста в зашифрованном тексте не сохраняются.
b. Поскольку 
, где является дополнением, поток зашифрованного текста - дополнение ключевого потока. Если ключевой поток случайный, то зашифрованный текст также случайный, отрывки исходного текста не сохраняются в зашифрованном тексте.
c. В этом случае каждый бит в потоке зашифрованного текста является или тем же самым, что и в ключевом потоке, или его дополнением. Поэтому результат - также случайный, если ключевой поток случайный.
d. В данном случае зашифрованный текст явно случайный, потому что проведение операции ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ двух случайных битов в результате дает случайный поток бит.
Регистр сдвига с обратной связью
Одно усовершенствование к одноразовому блокноту - ( FSR - Feedback Shift Register ). FSR может быть реализован или в программном обеспечении, или в аппаратных средствах, но для простоты мы рассмотрим аппаратную реализацию. Регистр сдвига с обратной связью состоит из регистра сдвига и функции обратной связи , как показано на рис. 7.23 .
Рис. 7.23.
Регистр сдвига – последовательность из m ячеек от b 0 до b m-1 , где каждая ячейка предназначена для сохранения единственного бита. Ячейки рассматриваются как n -битовое слово, называемое в начале "начальное значение" или источник . Всякий раз, когда необходимо получить бит на выходе (например, по сигналу в определенное время), каждый бит сдвигается на одну ячейку вправо. Это означает, что значение каждой ячейки присваивается правой соседней ячейке и принимает значение левой ячейки. Самая правая ячейка b 0 считается выходом и дает выходное значение (k i ). Крайняя левая ячейка, b m-1 , получает свое значение согласно значению информации функции обратной связи. Обозначаем выход функции с информацией обратной связи b m . Функция информации обратной связи определяет, какие значения имеют ячейки, чтобы вычислить b m . Регистр сдвига информации обратной связи может быть линейный или нелинейный.
Линейный регистр сдвига с обратной связью (LFSR) . Примем, что b m - это линейная функция b 0 , b 1 ,…..., b m-1 , для которой
Линейный регистр сдвига с обратной связью работает с двоичными цифрами, поэтому умножение и сложение находятся в поле GF(2) , так что значение C i является или 1 , или 0 , но C 0 должно быть 1 , чтобы получить информацию обратной связи на выходе. Операция сложения – это операция ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ. Другими словами,
Пример 7.18
Построим линейный регистр сдвига с обратной связью с 5 -ю ячейками, в которых .
Решение
Если С i = 0, b i не играет роли в вычислении b m , то это означает, что b i не связан с функцией информации обратной связи. Если c i = 1 , b i включается в вычисление b m . В этом примере c 1 и c 3 - нули, это означает, что, мы имеем только три подключения. Рисунок 7.24 показывает схему линейного регистра сдвига с обратной связью.
Рис. 7.24.
Пример 7.19
Построим линейный регистр сдвига
с обратной связью с 4
-мя ячейками, в которых 
. Покажите значение регистра после 20
операций (сдвигов
), если исходное значение - (0001) 2
.
Решение
Рисунок 7.25 показывает схему и использование линейного регистра сдвига с обратной связью для шифрования.
Рис. 7.25.
Таблица 7.6. показывает значение потока ключей. Для каждого перехода первое значение b 4 вычисляется, а затем каждый бит сдвигается на одну ячейку вправо.
| Текущее значение | b 4 | b 3 | b 2 | b 1 | b 0 | k i |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Начальное значение | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 2 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 4 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 5 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 6 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 7 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 8 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 9 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 10 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 11 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 12 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 13 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 14 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 15 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 16 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 17 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 18 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 19 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 20 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Заметим, что поток ключей - 1000100110101111 1001…… . Он выглядит, на первый взгляд, как случайная последовательность, но если просмотреть большое число транзакций (сдвигов), мы можем увидеть, что последовательности периодичны. Это повторение по 15 бит показано ниже.
Ключ потока генерирует с помощью линейного регистра сдвига с обратной связью псевдослучайную последовательность , в которой повторяются последовательности длиною N . Поток периодичен. Он зависит от схемы генератора и начальной информации и может быть не свыше 2 m – 1 . Каждая схема порождает m -битовые последовательности от содержащих все нули до содержащих все единицы. Однако если начальная последовательность состоит только из нулей, результат бесполезен - исходный текст был бы потоком из одних нулей. Поэтому такая начальная последовательность исключена.
Регистр сдвига с обратной связью состоит из двух частей: регистра сдвига и функции обратной связи .
Рис 19. Регистр сдвига с обратной связью.
В общем случае регистр сдвига представляет собой последовательность некоторых элементов кольца или поля. Наиболее часто применяются битовые регистры сдвига. Длина такого регистра выражается числом битов. При каждом извлечении бита все биты регистра сдвигаются вправо на одну позицию. Новый старший бит рассчитывается как функция всех остальных битов регистра. Выходом обычно является младший значащий бит. Периодом регистра сдвига называют длину выходной последовательности до начала ее повторения.
Простейший тип регистров сдвига – регистр сдвига с линейной обратной связью (РСЛОС или ЛРС). Обратная связь – простая операция XOR над некоторыми битами регистра. Перечень этих битов определяется характеристическим многочленом и называется последовательностью отводов . Иногда такую схему называют конфигурацией Фибоначчи .
Рис.20. РСЛОС конфигурации Фибоначчи.
При программной реализации РСЛОС пользуются модифицированной схемой: для генерации нового значащего бита вместо использования битов последовательности отводов над каждым ее битом выполняется операция XOR с выходом генератора, заменяя старый бит последовательности отводов. Такую модификацию иногда называют конфигурацией Галуа .
Рис.21. РСЛОС конфигурации Галуа.
n -битовый РСЛОС может находиться в одном из 2 n – 1 внутренних состояний. Это значит, что теоретически такой регистр может генерировать псевдослучайную последовательность с периодом 2 n – 1 битов (заполнение нулями совершенно бесполезно). Прохождение всех 2 n – 1 внутренних состояний возможно только при определенных последовательностях отводов. Такие регистры называют РСЛОС с максимальным периодом. Для обеспечения максимального периода РСЛОС необходимо, чтобы его характеристический многочлен был примитивным по модулю 2. Степень многочлена является длиной регистра сдвига. Примитивный многочлен степени n – это такой неприводимый многочлен, который является делителем , но не является делителем x d + 1 для всех d , являющихся делителями 2 n – 1. (При обсуждении многочленов термин простое число заменяется термином неприводимый многочлен ). Характеристический многочлен приведенных на рисунках РСЛОС:
x 32 + x 7 + x 5 + x 3 + x 2 + x + 1
примитивен по модулю 2. Период такого регистра будет максимальным, циклически проходя все 2 32 – 1 значений до их повторения. Наиболее часто используются прореженные многочлены, т.е. у которых есть только некоторые коэффициенты. наиболее популярны трехчлены.
Важным параметром генератора на базе РСЛОС, является линейная сложность . Она определяется как длина n самого короткого РСЛОС, который может имитировать выход генератора. Линейная сложность важна, поскольку при помощи простого алгоритма Берленкемпа-Мэсси можно воссоздать такой РСЛОС, проверив всего 2n битов гаммы. С определением нужного РСЛОС поточный шифр фактически взламывается.
Помимо РСЛОС применяются и регистры сдвига с нелинейной обратной связью, обратной связью по переносу и пр.
Ряд генераторов разработан на основе теоретико-числового подхода (генераторы Блюма-Микали, RSA, BBS, сжимающие, аддитивные генераторы и пр.).
Математическое обеспечение синтеза поточных криптографических алгоритмов разработано более полно и подробно по сравнению с блочными криптоалгоритмами. Тем не менее для создания поточных шифров зачастую используют блочные криптоалгоритмы в режимах OFB или CFB.
В регистре сдвига с линейной обратной связью выделяют две части (модуля): собственно регистра сдвига и схемы (или подпрограммы) вычисляющих значение вдвигаемого бита. Регистр состоит из функциональных ячеек (или битов машинного слова или нескольких слов), в каждой из которой хранится текущее состояние одного бита . Количество ячеек , называют длиной регистра. Биты (ячейки) обычно нумеруются числами , каждая из которых способна хранить бит, причём в ячейку происходит вдвижение вычисленного бита, а из ячейки извлекается выдвигаемый очередной сгенерированный бит. Вычисление вдвигаемого бита обычно производится до сдвига регистра, и только после сдвига значение вычисленного бита помещается в ячейку .
Периодом регистра сдвига называют минимальную длину получаемой последовательности до начала её повторения. Так как регистр из битовых ячеек имеет только разных ненулевых состояний, то, принципиально, период регистра не может превышать это число. Если период регистра равен этому числу, то такой регистр называют регистром максимального периода.
Для РСЛОС функция обратной связи является линейной булевой функцией от состояний всех или некоторых битов регистра. Например, сумма по модулю два или её логическая инверсия является линейной булевой функцией (операция XOR, в формулах обозначают как ) и наиболее часто применяется в таких регистрах.
При этом те биты, которые являются переменными функции обратной связи, принято называть отводами .
Управление регистром в аппаратных реализациях производится подачей сдвигающего импульса (иначе называемого тактового или синхроимпульса ) на все ячейки, в программных - выполнением программного цикла, включающего вычисление функции обратной связи и сдвига битов в слове.
В течение каждого такта времени выполняются следующие операции:
Регистр сдвига с линейной обратной связью
Таким образом, в качестве функции обратной связи берётся логическая операция XOR (исключающее ИЛИ), то есть:
Свойства примитивных многочленов
Свойства
Свойства выдаваемой РСЛОС последовательности тесно связаны со свойствами ассоциированного многочлена . Его ненулевые коэффициенты называются отводами , как и соответствующие ячейки регистра, поставляющие значения аргументов функции обратной связи.
Линейная сложность
Линейная сложность бинарной последовательности - одна из самых важных характеристик работы РСЛОС. Введём следующие обозначения:
ОпределениеЛинейной сложностью бесконечной двоичной последовательности называется число , которое определяется следующим образом:
Линейной сложностью конечной двоичной последовательности называется число , которое равно длине самого короткого РСЛОС, который генерирует последовательность, имеющую в качестве первых членов .
Свойства линейной сложности
Пусть и - двоичные последовательности. Тогда:
Корреляционная независимость
Чтобы получить высокую линейную сложность криптографы пытаются нелинейно объединить результаты нескольких выходных последовательностей. При этом опасность состоит в том, что одна или несколько выходных последовательностей (часто даже выходы отдельных РСЛОС) могут быть связаны общим ключевым потоком и вскрыты с помощью линейной алгебры. Взлом на основе такой уязвимости называют корреляционным вскрытием . Томас Сигенталер показал, что можно точно определить корреляционную независимость, и что существует компромисс между корреляционной независимостью и линейной сложностью.
Основная идея такого взлома заключается в обнаружении некоторой корреляции между выводом генератора и выводом одной из его составных частей. Затем, наблюдая выходную последовательность, можно получить информацию об этом промежуточном выводе. Используя эту информацию и другие корреляции, можно собирать данные о других промежуточных выводах до тех пор пока генератор не будет взломан.
Против многих генераторов потока ключей на базе регистра сдвига с линейной обратной связью успешно использовались корреляционные вскрытия или из вариации, такие как быстрые корреляционные вскрытия, предполагающие компромисс между вычислительной сложностью и эффективностью.
Пример
Для РСЛОС с ассоциированным многочленом генерируемая последовательность имеет вид . Допустим, перед началом процесса в регистре записана последовательность , тогда период генерируемого потока битов будет равен 7 со следующей последовательностью:
| Номер шага | Состояние | Генерируемый бит |
| 0 | - | |
| 1 | 1 | |
| 2 | 1 | |
| 3 | 0 | |
| 4 | 1 | |
| 5 | 1 | |
| 6 | 1 | |
| 7 | 0 |
Поскольку внутреннее состояние на седьмом шаге вернулось к исходному, то, начиная со следующего шага, будет идти повтор. Иными словами, период последовательности оказался равен 7, что произошло ввиду примитивности многочлена .
Алгоритмы генерации примитивных многочленов
Готовые таблицы
Вычисление примитивности многочлена - достаточно сложная математическая задача. Поэтому существуют готовые таблицы, в которых приведены номера отводных последовательностей, обеспечивающих максимальный период генератора. Например, для 32-битового сдвигового регистра имеется последовательность . Это означает, что для генерации нового бита необходимо с помощью функции XOR просуммировать 31-й, 30-й, 29-й, 27-й, 25-й и 0-й биты. Код для такого РСЛОС на языке Си следующий:
Int LFSR (void ) { static unsigned long S = 1 ; S = ((( (S>> 31 ) ^ (S>> 30 ) ^ (S>> 29 ) ^ (S>> 27 ) ^ (S>> 25 ) ^ S ) & 1 ) << 31 ) | (S>> 1 ) ; return S & 1 ; }
Программные реализации РСЛОС генераторов достаточно медленны и быстрее работают, если они написаны на ассемблере, а не на языке Си. Одним из решений является использование параллельно 16-ти РСЛОС (или 32, в зависимости от длины слова в архитектуре конкретного компьютера). В такой схеме используется массив слов, размер которого равен длине РСЛОС, а каждый бит слова массива относится к своему РСЛОС. При условии, что используются одинаковые номера отводных последовательностей, то это может дать заметный выигрыш в производительности. [нужен пример кода ] (См.: bitslice).
Конфигурация Галуа
Конфигурация Галуа регистра сдвига с линейной обратной связью
Схему обратной связи также можно модифицировать. При этом генератор не будет обладать большей криптостойкостью, но его будет легче реализовывать программно. Вместо использования для генерации нового крайнего левого бита битов отводной последовательности выполняется XOR каждого бита отводной последовательности с выходом генератора и замена его результатом этого действия, затем результат генератора становится новым левым крайним битом. На языке Си это выглядит следующим образом:
Int LFSR (void ) { static unsigned long Q = 1 ; Q = (Q>> 1 ) ^ ( Q& 1 ? 0x80000057 : 0 ) ; return Q & 1 ; }
Выигрыш состоит том, что все XOR выполняются за одну операцию.
- можно доказать, что приведенная первой конфигурация Фибоначчи и приведенная здесь конфигурация Галуа дают одинаковые последовательности (длиной 2 32 −1), но смещённые по фазе одна от другой
- цикл из фиксированного числа вызовов функции LFSR в конфигурации Галуа выполняется примерно в два раза быстрее, чем в конфигурации Фибоначчи (компилятор MS VS 2010 на Intel Core i5)
- обратите внимание, что в конфигурации Галуа порядок бит в слове, определяющем обратную связь, обратный по сравнению с конфигурацией Фибоначчи
Примеры генераторов
Генераторы «стоп-пошёл»
Чередующийся генератор «стоп-пошёл»
Этот генератор использует вывод одного РСЛОС для управления тактовой частотой другого РСЛОС. Тактовый выход РСЛОС-2 управляется выходом РСЛОС-1, так что РСЛОС-2 может менять своё состояние в момент времени t, только если выход РСДОС-1 в момент времени t-1 был равен единице. Но эта схема не устояла перед корреляционным вскрытием.
Поэтому был предложен улучшенный генератор, основанный на этой же идее. Его называют чередующийся генератор «стоп-пошёл». В нём используются три РСЛОС различной длины. РСЛОС-2 тактируется, когда выход РСЛОС-1 равен единице, а РСЛОС-3, когда выход РСЛОС-1 равен нулю. Выходом генератора является сумма по модулю 2 РСЛОС-2 и РСЛОС-3. У данного генератора большой период и большая линейная сложность. Его авторы показали также способ корреляционного вскрытия РСЛОС-1, но это не сильно ослабляет генератор.
Каскад Голлманна
Каскад Голлманна
Каскад Голлманна представляет собой усиленную версию генератора «стоп-пошёл». Он состоит из последовательности РСЛОС, тактирование каждого из которых управляется предыдущим РСЛОС. Если выходом РСЛОС-1 в момент времени t является 1,то тактируется РСЛОС-2. Если выходом РСЛОС-2 в момент времени t является 1, то тактируется РСЛОС-3, и так далее. Выход последнего РСЛОС является выходом генератора. Если длина всех РСЛОС одинакова и равна n, то линейная сложность системы из k РСЛОС равна .
Эта идея проста и может быть использована для генерации последовательностей с огромными периодами, большими линейными сложностями и хорошими статистическими свойствами. Но, к сожалению, они чувствительны к вскрытию, называемому «запиранием» (lock-in). Для большей стойкости рекомендуется использовать k не менее 15. Причём лучше использовать больше коротких РСЛОС, чем меньше длинных РСЛОС.
Пороговый генератор
Пороговый генератор
Этот генератор пытается обойти проблемы безопасности, характерные для предыдущих генераторов с помощью переменного числа регистров сдвига. В теории при применении большего числа сдвиговых регистров сложность шифра возрастает, что и было сделано в данном генераторе.
Этот генератор состоит из большого числа регистров сдвига, выводы которых поступают на функцию мажорирования. Если число единиц на выходах регистров больше половины, то генератор выдает единицу. Если число нулей на выходах больше половины, то генератор выдает ноль. Для того чтобы сравнение число нулей и единиц было возможным, количество регистров сдвига должно быть нечётным. Длины всех регистров должны быть взаимно просты, а многочлены обратной связи - примитивны , чтобы период генерируемой последовательности был максимален.
Для случая трёх регистров сдвига генератор можно представить как:
Этот генератор похож на генератор Геффа за исключением того, что пороговый генератор обладает большей линейной сложностью. Его линейная сложность равна:
где , , - длины первого, второго и третьего регистров сдвига.
Его недостатком является то, что каждый выходной бит дает некоторую информацию о состоянии сдвигового регистра. А точнее 0.189 бита. Поэтому данный генератор может не устоять перед корреляционным вскрытием.
Другие виды
Самопрореживающие
Самопрореживающими называются генераторы, которые управляют собственной частотой. Было предложено два типа таких генераторов. Первый состоит из регистра сдвига с обратной линейной связью и некоторой схемы, которая тактирует этот регистр, в зависимости от того какими получаются выходные значения регистра сдвига. Если выход РСЛОС равен единице, то регистр тактируется d раз. Если выход равен нулю, то регистр тактируется k раз. Второй имеет практически ту же конструкцию, но несколько модифицированную: в схеме тактирования на вход, в качестве проверки на 0 или 1, поступает не сам выходной сигнал, а XOR определённых битов регистра сдвига с линейной обратной связью. К сожалению, этот вид генератора не безопасен.
Многоскоростной генератор с внутренним произведением
Этот генератор использует два регистра сдвига с линейной обратной связью с разными тактовыми частотами: РСЛОС-1 и РСЛОС-2. Тактовая частота РСЛОС-2 в d раз больше чем РСЛОС-1. Отдельные биты этих регистров объединяются операцией AND. Затем с выходами операции AND выполняется операция XOR. С этого блока XOR снимается выходная последовательность. Опять же и этот генератор не безупречен (Он не выстоял перед вскрытием линейной согласованности. Если - длина РСЛОС-1,- длина РСЛОС-2, а d - отношение тактовых частот, то внутреннее состояние генератора может быть получено по выходной последовательности длиной ), но он имеет высокую линейную сложность и обладает великолепными статистическими характеристиками.
